Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ → ℝ$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x}, & x \in (-∞, 1] \\ \frac{2-x^2}{2-x}, & x \in (1, \u221E) \end{cases}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-2}{x+3}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x-1}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x-1) - \ln x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$, deci $\displaystyle f$ este injectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^3-3x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x+2}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

c) Arătați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{5x-3}{x^2-x+3}, & x\in(-\infty,1) \\ x^2-\sqrt{x^2+3}+3, & x\in[1,\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2+3^{x}-4, & x \in (-\infty,1] \\ \frac{x^2-x}{x^2}, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} (x f(x)) = 2$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-2,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x-1, x \in (-\infty,0] \\ \frac{3x-1}{x+1}, x \in (0,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 e^x f(x) dx = \frac{5-3e}{e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+4}{(x+1)^2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=5 x^{2}(x-3)(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -27 \leq f(x) \leq 1$, pentru orice $\displaystyle x \in[0,3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2020}+1}{x+1}, & x \in (0,1] \\ \ln x, & x \in (1, +\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-12x+11$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-4x^3}{x}$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle 3 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^4 - 4x^2 - 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 8x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(x) \le -3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are exact patru soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+4x+2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1)-f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)\ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$.

c) Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției $\displaystyle f$, sunt concurente.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (3, +∞) \to →$, $\displaystyle f(x) = \ln(x-3) - 2 ln(x^2-9)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+1+\sqrt{x^2-x+1}, & x \in (-\infty, 0) \\ x\ln(x+1), & x \in [0, +\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a<0$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x-\operatorname{arctg} x}{5x}, & x<0 \\ x^2+x+4, & x \ge 0 \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.