Demonstrați că numerele $\displaystyle C_4^1$, $\displaystyle A_4^2$ și $\displaystyle A_5^2$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi care are exact $\displaystyle 45$ submulțimi cu două elemente.

Determinați numărul de submulțimi ordonate cu 3 elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1,3,5,7\}$.

Determinați numărul funcțiilor $\displaystyle f : \{1,2,3\} \to \{1,2,3,4\}$, care au proprietatea $\displaystyle f(1)=3$.

4. Se consideră mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,\dots,30\}$. Determinați numărul de elemente ale mulțimii $\displaystyle A$ care sunt divizibile cu $\displaystyle 2$ sau cu $\displaystyle 3$.

Determinați numărul de mulțimi $\displaystyle X$ cu proprietatea $\displaystyle \{1,2,3\} \subset X \subset \{1,2,3,4,5\}$.

4. Determinați numărul de funcții $\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{0,1,2\}$ cu proprietatea $\displaystyle f(1) \cdot f(2) \cdot f(3)=0$.

Determinați în mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C_4^x = 4$.

4. Se consideră patru puncte distincte, oricare trei dintre ele necoliniare. Calculați numărul dreptelor determinate de câte două dintre aceste puncte.

Calculați $\displaystyle C_{11}^{9} - C_{11}^{2}$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie format doar din cifre pare.

Determinaţi câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii $\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.

Se consideră mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $\displaystyle A$, care îl conțin pe $\displaystyle 1$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$, acesta să aibă cifra zecilor egală cu $\displaystyle 2$ și cifra unităților egală cu $\displaystyle 4$.

Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1, 2, 3, 4\}$.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că mulțimea $\displaystyle A = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ are exact $\displaystyle 10$ submulțimi cu două elemente.

Determinați numărul submulțimilor cu cel mult $\displaystyle 2$ elemente ale unei mulțimi cu $\displaystyle 12$ elemente.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.

Determinați termenul care îl conține pe $\displaystyle x^8$ din dezvoltarea $\displaystyle (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2})^{10}$, unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.