a) Să se demonstreze că $\displaystyle f'(x) + f(x) = x^2 + 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

b) Să se determine ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle f(x) \ge 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln(x-1)-\ln x+1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ nu are soluții reale pentru niciun număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați asimptotele spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle g:(-\infty, 0) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x)}{f(x)}$.

c) Stabiliți intervalul pe care funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (-\infty, 1)$.

b) Scrieți ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții în intervalul $\displaystyle (-\infty, 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)+f(y) \ge 6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 11 \le f(x) \le 15$, pentru orice $\displaystyle x \in [3,5]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = -3$.

c) Determinați asimptotele oblice ale funcției.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - x$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m > 0$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are soluție unică în $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctul de extrem al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (3x-x^2) \cdot e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in [0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x)$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - 3e^x + 2}{(e^x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} - \{0\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are exact două puncte de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2x \ln(x-1) + \frac{x^2-4}{x-1}$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, oricare ar fi numărul $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(\frac{1}{e}) = 3e^3$.

b) Determinați ecuația asimptotei către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați inegalitatea $\displaystyle x^2e^x \le e^x$, $\displaystyle x>0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(x^2+4)}{(x^2+x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{12x}{(x^2-3)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

b) Determinați asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ situat pe graficul funcției.