Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1+\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln y}{y^2} < \frac{\ln x}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (1, +\infty)$ cu $\displaystyle x < y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)e^x - e^x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x-4}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^{2}}$, $\displaystyle x\in(4,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)+x$ este crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^{2}+x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x^3}{(x-1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (27, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-3\ln x}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=2x+\ln{\frac{x}{x+2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-\infty, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x+7}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$, $\displaystyle x \in (-\infty, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, +\infty)$, știind că panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x-2}{x+2} + \ln \frac{x+2}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4}{x(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = n$ nu are soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x - 7$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-2x}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle (2x+1)\sqrt{e} \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}$, definită prin $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 2}$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \setminus \{\frac{1}{e}\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{1+\ln x}$.

a) Studiați existența asimptotelor verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle P(x_0, f(x_0))$, care este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-4y+2023=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+\sqrt{1+n^2}) \leq \sqrt{1+n^2}$, oricare ar fi $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ admite $\displaystyle 2$ puncte de extrem $\displaystyle x_1, f(x_1)$ și $\displaystyle x_2, f(x_2)$ și calculați $\displaystyle f(x_1) + f(x_2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{ \sqrt{x^2+1} }$.

a) Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x-1$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.