Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1 - (x+3)\ln(x+1)}{(x+1)(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x f(x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -1 + \frac{3}{x} + \frac{4\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle e^x(f(x)+f'(x))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-5, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+7}{x+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3}{(x+5)^2}$, $\displaystyle x \in (-5, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x+5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-2x+8}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{e^{2x}+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(e^{2x}+2-2e^{2x})}{(e^{2x}+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(2x)}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-2x^3-2x - 2x + 2x^3}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-4x}{(x^2+1)^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x + \frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}}{e^x + \frac{1}{x+1}}$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ a graficului funcției $\displaystyle f$. Deoarece $\displaystyle x \in [-1,1] \implies y \le 0 € f'(x) \ge 0$, f este crescătoare pe $\displaystyle [-1,1] € f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$. d) Calculați $\displaystyle \frac{2-e}{2e} - e € f(x) \le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x-\sqrt{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x} - 5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că nu există asimptotă spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 + \frac{2x}{x^4+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 1 - \frac{1}{x^4+1})dx = \frac{1}{5}$.

b) Se consideră $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Știind că graficul funcției $\displaystyle F$ are asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$, determinați panta acestei asimptote.

c) Se consideră funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x G(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{3x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(3x+1)^{2}}$, $\displaystyle x \in \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{2} \le \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x^4+16}}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+3 \ln \frac{x+3}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați în $\displaystyle (1,\infty)$ că $\displaystyle \frac{x+3}{3(x-1)} \ge 1-\frac{x}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 5 + \frac{4x-4}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $\displaystyle x,y \in [1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)+f(x^2) \ge \frac{17}{3}$ pentru orice $\displaystyle x \in (1,2]$.