Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+2x+2} - x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} - 1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \ln(x+1) - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=n$ are două soluţii reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2-x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(1)+f(2)+...+f(n)+2ln n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+3x-2}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-x+1 \ge e^x f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+2)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -(x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le \frac{f(x)}{(x+2) \sqrt[4]{e^x}} \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2+4x+5}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(2^x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x \ln 2}{2^x+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+4}{(x+1)^2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2020}+1}{x+1}, & x \in (0,1] \\ \ln x, & x \in (1, +\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2} + \ln \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x-2} > \ln \frac{1}{x-1}$, pentru orice $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+3}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) + \ln(x^2+1) \le \frac{5}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$, dacă $\displaystyle g(1) = \frac{3}{2}$ și $\displaystyle g'(x) = f(x)+\frac{1}{x^2+1}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-4x+5}{\sqrt{x^2-4x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.