a) Calculaţi $\displaystyle I_2$.

b) Demonstraţi că şirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

c) Demonstraţi că $\displaystyle (2n+1)I_n = 2nI_{n-1}$, pentru orice $\displaystyle n \ge 2$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$.

b) Se consideră funcția injectivă $\displaystyle f: G \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+x}{2-x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in G$.

c) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{30} = \frac{60}{31}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1-x^2}dx = \ln 2 - 1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției date este concavă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru orice $\displaystyle n$ număr natural se definește șirul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle I_0$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 0}$ este monoton și mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați extremele funcției $\displaystyle f$.

c) Considerăm șirurile $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ și $\displaystyle (y_n)_{n \ge 1}$ definite astfel: $\displaystyle x_n = f(\sqrt{1}) + f(\sqrt{2}) + f(\sqrt{3}) + \ldots + f(\sqrt{n})$, iar $\displaystyle y_n = f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) + f\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right) + \ldots + f\left(\frac{n}{\sqrt{n}}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(x_n + y_n + \sin \frac{1}{n}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f_2(x)}{\sqrt{x+1}}dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_1 = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_n + 2nI_{n-1} = 4\sqrt{2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1 - \ln 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Arătați că $\displaystyle n I_n = \frac{1}{2} - \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.