Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 2a & a \\ a & a-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(4)) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(1) \cdot M(1) - M(1) = 3I_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(M(n) - 3M(1)^{-1})$ este natural impar, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, unde $\displaystyle (M(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle M(1)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - 3x - 3y + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 5 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (a \ast x) = (a-x)(a+x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9-x^2}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 9f(2x) - f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + 2 + \frac{2}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x - 2)dx = 16$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 (f(x) - x - 2)dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \ln(2e^6)$.