Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle 3^m + \det(A \cdot B + nI_2) = -19$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x + y - \frac{xy}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \circ 1 = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \circ (2 - m) < 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x((x^2+1)+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

c) Determinați valorile funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^3 - 6x^2 + 2x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (F(x) - x^3 + 6x^2 - 2x) dx = 2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle F$ pentru care $\displaystyle f(1)=7$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{F(x)+x}{x} dx = 8 + \ln a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a-2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(3) - A(5) = A(1)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) \ge 2a^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy+8x+8y+56$.

a) Calculați $\displaystyle 10*(-8)$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x = 2026$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(-n) \le 20$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+2x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-2x-2)dx = \frac{14}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2026$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > -1$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)(f(x)-2x^2)dx = a^2$.