Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x+4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A(3)-A(1)=2A(4)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) = A(0) \cdot A(0)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3 - 4X^2 + aX - 2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=5$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=3$, arătați că $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ și $\displaystyle x_1x_2x_3=2$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Se consideră polinoamele $\displaystyle G=X-3$ și $\displaystyle H=X+2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la $\displaystyle G$ este egal cu restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la $\displaystyle H$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x^2+6}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(3-x)(2-x)}{(x^2+6)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x \cdot f(x)) = 2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-4,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x}{\sqrt{x+4}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) \cdot \sqrt{x+4} dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} f(x) dx = 4$.

c) Se consideră $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ și funcția $\displaystyle g: [a, a+8] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$. Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle 4\pi(2-\ln 2)$.