Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 0 \\ x+1 & 1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(1) + A(7) = 3A(3)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot (2x+1)I_2 = A(2y) - yI_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = x+y-xy+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 3 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 5 = 10$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N = \frac{n \ast (3+n)}{n}$ este natural.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1+3\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x+3-\frac{6}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3+6\sqrt{x})dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx = 12$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x) \cdot \sqrt{x}$ este convexă.