Se consideră matricea $\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 4 \ -1 & a-4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(3)+2M(0)=3M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)\cdot M(0)=M(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=xy+4(x+y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 2=14$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ 3=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x\circ 4=2^{x+4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4x+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{2(x+2)}{(x^2+4x+5)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^2-1)f(x)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5f(x)+f'(x)\le 2$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-2x)dx=\frac{8}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f(x)-5x^2}dx=\frac{\ln 5}{2}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-2x}{\sqrt{5x^2+1}}$, pentru care $\displaystyle G(1)=5$.