Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ -1 & 1-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a) + A(b) - A(a)A(b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(2a) - A(1) - A(a) \cdot A(1) = 2A(1) - 2A(1) + 2A(1)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5$, cu elementul neutru $\displaystyle e=11$.

a) Arătați că $\displaystyle 7 \circ 8 = 6$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x \circ 10$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ne 5$, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” sunt numere naturale pare.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x} + \ln(x+3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x-1)(4x+3)}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x+3)-f(x)}{x-1} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x^2} \ge \frac{4\ln x+3}{x^2+3}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)e^{-x}dx = 27$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{x^2+4}dx = -1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x^2)}{x^2}$. Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.