Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & x \\ 0 & 9 \end{pmatrix}, x \in \mathbb{R}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = 36$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot B = B \cdot A(x)$.

c) Rezolvați ecuația $\displaystyle X \cdot X = A(1)$, unde $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = -xy + 2x + 2y - 2, x, y \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 4 = 0$.

b) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle x * a = a * x = a$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Știind că legea "*" este asociativă, calculați $\displaystyle \frac{1}{2026} * \frac{2}{2026} * \dots * \frac{6202}{2026}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{2\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2+x+3}{x-2}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 11 \le f(x) \le 15$, pentru orice $\displaystyle x \in [3,5]$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$ și $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F(x) = \frac{4x\sqrt{x}+1}{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int f^2(x) \cdot g(x) dx$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 - 2x & -x \\ 6x & 1 + 3x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = 3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x) \cdot A(-x)) = 0$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ a numerelor reale se consideră legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy + 4x + 4y + 12$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \ast 2 = 2$.

b) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (m + 4) \ast (m - \frac{3}{2}) = -4$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \ast x \ast x = 23$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x(x^2 - 2x + 7)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x} f(x) dx = \frac{19}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea că $\displaystyle F(0) = 5$.