Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2x+1 & 0 \\ 4x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=6$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(-2)\cdot A(-1)-4I_2=A(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det\left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)\ge 8$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 1=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ (2x)=1$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m\circ n=m$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{2}{5}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{5}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f'(x)}{x}dx=e(2e-1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{xf(x)}{f(x-1)}dx=ae(5+\ln 3)$.