Se consideră matricea $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a+2 & -a \\ a-3 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot (6I_2 - A(-2))=xI_2.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X = A(1)-I_2.$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - 2x - 2y + 6.$

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-2)(y-2)+2.$

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 10.$

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e^x(2x^2-3x).$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2+x-3),$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}.$

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0.$

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx = 3.$

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{8}{f(x)}dx = 1.$

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}.$ Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=4.$