Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & 1 \\ 1 & x-5 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(6)) = 10$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot A(3) = aI_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + aX^2 + 2X + 2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X + 1$, determinați restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2 - 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}(x^2 - x + 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x^2}(x^2 + 3x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + f(x)}{x^2 - 4x} = \frac{1}{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x^2}(x^2 + x - 1) \le 5$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\sqrt{2}-1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x}{f(x)} dx = \frac{\ln 3}{4}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{a \pi}{3}$.