Calculați $\displaystyle \log_9 27 - \log_2 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + 1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a) = a^2 + 2a + 2$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{2x+1} = 4 \cdot 2^x$.

După o scumpire cu $\displaystyle 10\%$, o imprimantă costă $\displaystyle 440$ de lei. Aflați prețul inițial al imprimantei.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(2,3)$, $\displaystyle C(x,y)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC = 10$, $\displaystyle \angle C = 30^\circ$. Calculați lungimea medianei corespunzătoare laturii $\displaystyle AC$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 3(x+y-2) - xy$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle x * y = -(x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = 2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x \ge x$.

5. Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle m * n = 1$.

6. Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2026$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & -3 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -9$.

2. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = 8A(1)$.

3. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + B) = 19$.

4. Verificați dacă $\displaystyle B \cdot B = 2B + 3I_2$.

5. Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(n) + B = \begin{pmatrix} -17 & -19 \\ 16 & 52 \end{pmatrix}$.

6. Arătați că $\displaystyle n \cdot \det(A(n))$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 18$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$ nenul.

1. Arătaţi că $\displaystyle \sqrt{27} - 2\left(1 - \sqrt{3}\right) + \left|1 - \sqrt{3}\right| = -3$.

2. Să se determine funcţia $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = ax + b$, cu $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ al cărei grafic conţine punctele $\displaystyle A(-5, 2)$ şi $\displaystyle B(-1, -2)$.