1Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogiccalcul numericfracții Arătați că 14/5−(1/6+2/3)=3\displaystyle 14/5-(1/6+2/3)=314/5−(1/6+2/3)=3. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicfuncții Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R, f(x)=4x−1\displaystyle f(x)=4x-1f(x)=4x−1 și numărul a=f(1)\displaystyle a=f(1)a=f(1). Calculați f(a)\displaystyle f(a)f(a). ▶Arată rezolvarea
3Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuațiiecuații exponențiale Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 103x⋅10x=100\displaystyle 10^{3x} \cdot 10^{x}=100103x⋅10x=100. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicprocentestatistică După două ieftiniri succesive, cu câte 50%\displaystyle 50\%50%, un obiect costă 200\displaystyle 200200 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicgeometrie analitică În reperul cartezian xOy\displaystyle xOyxOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0)A(4,0), B(6,2)\displaystyle B(6,2)B(6,2) și C\displaystyle CC, mijlocul segmentului OB\displaystyle OBOB. Arătați că AC=2\displaystyle AC=\sqrt{2}AC=2. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul I5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogictrigonometrie Arătați că sin45∘⋅sin30∘−2cos60∘=0\displaystyle \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ - \sqrt{2} \cos 60^\circ=0sin45∘⋅sin30∘−2cos60∘=0. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogiclegi de compoziție Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−y+4\displaystyle x \ast y = xy - x - y + 4x∗y=xy−x−y+4. Arătați că 3∗3=4\displaystyle 3 \ast 3 = 43∗3=4. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numărul real x\displaystyle xx pentru care x∗(−2)=x\displaystyle x \ast (-2) = xx∗(−2)=x. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numerele reale x\displaystyle xx pentru care (−x)∗x=2x\displaystyle (-x) \ast x = 2x(−x)∗x=2x. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogiclegi de compoziție Arătați că x∗y=(x−1)(y−1)+3\displaystyle x \ast y = (x-1)(y-1)+3x∗y=(x−1)(y−1)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numerele reale nenule a\displaystyle aa pentru care 4∗(4∗a)=1/a\displaystyle 4 \ast (4 \ast a) = 1/a4∗(4∗a)=1/a. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al II-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuațiilegi de compozițienumere naturale Determinați perechile (n,p)\displaystyle (n,p)(n,p) de numere naturale pentru care n2∗p=p\displaystyle n^2 \ast p = pn2∗p=p. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicdeterminanțimatrici Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}I2=(1001) și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 4-x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}A(x)=(4−x−xx1−x), unde x\displaystyle xx este număr real. Arătați că det(A(2))=2\displaystyle \det(A(2))=2det(A(2))=2. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuații matricialematrici Determinați numărul real a\displaystyle aa pentru care 3A(2)−A(4)=2A(a)\displaystyle 3A(2)-A(4)=2A(a)3A(2)−A(4)=2A(a). ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicdeterminanțiecuațiimatrici Determinați numerele reale x\displaystyle xx pentru care det(A(x))=x\displaystyle \det(A(x))=xdet(A(x))=x. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicmatrici Arătați că matricea B=1/2(I2−A(2))\displaystyle B=1/2(I_2-A(2))B=1/2(I2−A(2)) este inversa matricei A(2)\displaystyle A(2)A(2). ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuații matricialematrici Determinați numerele reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy pentru care A(x)⋅A(y)=A(x2)\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x^2)A(x)⋅A(y)=A(x2). ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al III-lea5p·2026 · Sesiunea I · Pedagogicecuații matricialematrici Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})X∈M2(R) pentru care A(2)⋅X=A(3)\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)A(2)⋅X=A(3). ▶Arată rezolvarea