Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=2a \\ x+ay-z=4-a \\ 3x+2y+z=8 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $\displaystyle a=1$. Pentru $\displaystyle a=2$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $\displaystyle x_0y_0z_0=y_1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \sqrt[3]{(x^2+2)(y^2+2)}-m$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R} \setminus \{-4, \infty\}$.

a) Pentru $\displaystyle m=3$, arătați că $\displaystyle 0*1=3$.

b) Pentru $\displaystyle m=7$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x = 5$.

c) Determinați $\displaystyle m \in [-4, \infty)$ pentru care legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^{x^2-x}}{\sqrt{x-1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^{x^2-x}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \sqrt{e}$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=mx$ are exact două soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \left(4x^2-\frac{6}{x^2}\right)\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{\ln x} dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle F$.