Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2)) = \frac{1}{25}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ din egalitatea $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(4-x)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n) = A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(2025)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural impar.

Pe mulțimea $\displaystyle G=(1, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{1}{2}\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*5=7$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Fie funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to (1, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \cdot y) = f(x) * f(y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - \frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați extremele funcției $\displaystyle f$.

c) Considerăm șirurile $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ și $\displaystyle (y_n)_{n \ge 1}$ definite astfel: $\displaystyle x_n = f(\sqrt{1}) + f(\sqrt{2}) + f(\sqrt{3}) + \ldots + f(\sqrt{n})$, iar $\displaystyle y_n = f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) + f\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right) + \ldots + f\left(\frac{n}{\sqrt{n}}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(x_n + y_n + \sin \frac{1}{n}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{3x-2f(x)}{x+1} dx = 4$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x) dx$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 0 & 0 \\ 0 & (1-x)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = -27$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y-xy)$ pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle A(2) \cdot A(3) \cdot A(4) \dots A(2026)$.

Pe $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2xy + 3x - 3y$.

a) Rezolvați ecuația $\displaystyle (x+1) \circ x = 9, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că legea $\displaystyle \circ$ nu este asociativă.

c) Dați exemplu de două numere $\displaystyle a, b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ astfel încât $\displaystyle a \circ b \in \mathbb{Z}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x^2+x-1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Să se determine valorile lui $\displaystyle a, a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + x - \frac{2}{x}$ și $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^x + x - \ln x^2$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Să se calculeze $\displaystyle \int_1^e (x f(x) + F(x))dx$.