Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1-2a & a & 0 \\ 2a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b)=A(a+b-3ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(a)=A(5)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X)=X^3-mX^2+X+1$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1)=0$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+2$ este egal cu $\displaystyle 11$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=1$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+2x+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{1+\ln^2{x}}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \left(f(x)-x-\frac{\ln^2{x}}{x}\right)dx=12+\ln3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-6-\frac{1}{x}}{x}dx = \frac{\ln^3{e}}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-6}{x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele cu ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ este egală cu $\displaystyle m\left(1-\frac{2}{e}\right)$.