Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a-1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -a \\ 0 & 2 & 2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(n)=A(n)+nI_3$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot B(n)=2n^2 A(n)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^4-X^3+aX^2+bX-6$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2-X+1$ este $\displaystyle X-1$.

c) Enunțul lipsește din imaginea subiectului.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^2+1}-3\text{ln}(2x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (2,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 4\text{ln}x \cdot \frac{f(x)-4x^3}{x}dx=e^2+9$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(e^x-1)e^{-4e^{3x}}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}\text{ln}\frac{3e}{e^2+2}$.