a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(1)) = 2$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle z_0=nx_0$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle 0*2 = 5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\frac{3x}{2}=5x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*m*n=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+1)^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 xf(x) \text{d}x = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{f(x)}{x} \text{d}x = \text{ln} 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{(x-2)F^2(x)} \int_2^x (t-2)F(t) \text{d}t = \frac{\text{ln} 2}{4}$, unde $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=0$.