Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \ 1 & 1 & -a \ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=3 \ x+y-z=5 \ x-y-z=1 \end{cases}$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+y_0z_0=0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{xy-1}{(x-1)(y-1)}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 5 = \frac{7}{4}$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x \ast 2) \ast x = 2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)\ln x}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+\sqrt{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-(x^2-2x))dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2x}dx=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t)dt = \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.