Se consideră matricea $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ 2a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1)+2I_2=xA(1)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 2x - 2y + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*2=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = (2x)*6$.

c) Știind că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$, determinați numărul real $\displaystyle x$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este $\displaystyle 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2-2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)+\ln x - 4}{x^2-3x-3} = \frac{4}{3}$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{4x^2-1}{x} \ge \ln(2x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x+2x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx = e+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)-e^x} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = 5+\frac{a}{e}$.