Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x - 1 & 2 \\ -3 & x + 1 \end{pmatrix}$, cu $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A + I_2) = 4$.

b) Aflați numărul natural $\displaystyle n$ din egalitatea $\displaystyle \det(B(n) - n \cdot A) = \det B(2) - 2n$.

c) Determinați matricea $\displaystyle M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A^2 \cdot M = I_2 - A$, unde $\displaystyle A^2$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - 4(x + y) + 20$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 \circ 4 = 4$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$” definită pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ x \ge 4$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați asimptotele spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle g:(-\infty, 0) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x)}{f(x)}$.

c) Stabiliți intervalul pe care funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x + \frac{2}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) - \frac{2}{x^2}) dx = \frac{38}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \cdot \ln x dx = \frac{(e \ln e)^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$ este egală cu $\displaystyle 2(6 + \ln a)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x-1 \\ 2 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(3)) = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle M(4) + 3M(0) = 4M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(0) = M(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy + x^2 + y^2 - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (-x) = 3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \ast n = -mn$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3 + \ln x}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^3 - x - 6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2 - 4x + 4)e^x$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int \frac{f(x)}{e^x} dx$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{(x-2)^2} dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.