Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -1 & 2x \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle A + 3I_2 = 2B(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (B(2x) - B(x) \cdot A) = x^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - 8x - 8y + 72$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 2x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle (8+m) \ast (8+n) = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-\infty, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x+7}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$, $\displaystyle x \in (-\infty, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, +\infty)$, știind că panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x + \sqrt{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \sqrt{x+3}) dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{f(x) - 2x} dx = 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,6] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x}{\sqrt{x+3}}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle 9\pi \ln 3$.