Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A\left(x\right) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -x & -2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A\left(5\right)\right) = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A\left(-1\right) + A\left(5\right) = 3A\left(1\right)$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det\left(A\left(x\right) - A\left(-x\right)\right) - x^2 \ge 0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + mX^2 - X - m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f \left(1\right) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -3$, arătați că $\displaystyle 3$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 x_3 + x_1 + x_2 + x_3 = 1$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \left(0, +\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f \left(x\right) = 2x^2 - 1 - \frac{4}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'\left(x\right) = \frac{4\left(x^3 - 1\right)}{x^2}$, $\displaystyle x \in \left(0, +\infty\right)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 6 \le 2x^2 - 1 - \frac{4}{x} \le 33$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[1, 4\right]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \left(0, +\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f \left(x\right) = x - 1 + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \left(f\left(x\right) - \ln x\right) dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f\left(x\right) + 1}{x} dx = \frac{1}{2} \left(e^2 - 1\right)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g : \left(0, +\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g\left(x\right) = 3x \left(f\left(x\right) + 1\right)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 3$ este egală cu $\displaystyle a + 27 \ln 3$.