Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3A-5I_2 = xB$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(B-A)+xI_2) \le 2$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3 - 3X^2 + X + m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1+2x_2+2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X-2$ este $\displaystyle -5$, arătați că $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3-x}{e^x}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e^{-1} \le f(x) \le 1$ pentru orice $\displaystyle x \in [1,4]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+4x+8$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-4x-8) dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-4} dx = \frac{1}{4}$.