Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(x)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=x+y+6$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ(-3)=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ 2=3x$.

c) Arătați că $\displaystyle (x^2+2)\circ(1-6x)\ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{5x-2}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3)dx=1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x(f(x)-2x)dx=3e-1$.

c) Determinați $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln\frac{a}{2}$.