Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(1) = A(0)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(m) = A(n)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x \cdot y + 3^x \cdot 3^y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (3x) = (2x) \circ (2x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)-f(y) \le \frac{3-e}{3e}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x \le 0 \le y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x+1+3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-3\ln x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-4x-1}{x}dx=3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2}dx = a \ln 2$.