a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+5xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle A(n) \cdot A(n-2) = A(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 8$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a = -6$, arătați că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g = X^2 + 5X + 3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in (-4, 4)$, atunci $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+1)-(x^2-x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1) \cdot f(x)dx = \frac{9}{4}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{1}{4}\ln(x^4+1) + \frac{1}{2}\operatorname{arctg} x^2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

a) Determinați matricele $\displaystyle A \in M$ astfel încât $\displaystyle \det(A)=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot B \in M$, oricare ar fi matricele $\displaystyle A, B \in M$.

c) Determinați $\displaystyle X \in M$ știind că $\displaystyle X^2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care $\displaystyle 1 * 2 = 11$ și $\displaystyle (-1) * 4 = 5$.

b) Pentru $\displaystyle a=-3, b=18$ arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+9$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care legea "$\displaystyle *$" admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{xe^x}{(e^x+1)^2} \cdot x+e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - y \ge \ln \frac{x+1}{y+1}$, oricare ar fi $\displaystyle x, y > 0, x \ge y$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^3 \frac{x^3+9x}{x} \, dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int f(x) \cdot \ln x \, dx$ unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.