Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+x & x \\ -x & 2-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2) \cdot A(-2)=16I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle B(m)=\frac{1}{m}A(-m)$ este inversa matricei $\displaystyle A(m)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-3X^2-3X+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3=3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Pentru $\displaystyle a=9$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-8}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -4e^2 \le f(x) \le e^3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3,4]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=6x+\frac{2 \ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{2 \ln x}{x} \right) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-6x)dx = \ln^2 e - \ln^2 1 = 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^2} \left( \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x \right) dx = af(e^2)$.