Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle B = \frac{1}{2}(I_2-A)$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-I_2) \cdot X = 2A$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y-\sqrt{xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 4 = 3$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 9x = x^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \circ 2^{x+2} = 6^x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3+3x+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x-3)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3-1}dx = \frac{1}{18}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-3}{x^2} - \ln x dx = \frac{e^2+m}{4}$.