Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2-2a & 2-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(2) \cdot A = xM(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (M(a)-2I_2) \cdot M(a) = (a+2)I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = (x-6)(y-6)+6$.

a) Arătați că $\displaystyle 9 \circ 8 = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle e=7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ \frac{6}{x} = 6x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-5}{x \sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(x-1)(x+1)}{2x \sqrt{x}}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{\frac{x+ \sqrt{x}}{2}} = \frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle f'(x) \leq 26$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+4}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) \ln x dx = 2\ln e - 2\ln 1 - 2 = -2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)f'(x) \right) dx = m \left( f(2)-f(1) \right)$.