Calculați $\displaystyle \sqrt{2}(2\sqrt{5}+\sqrt{10})-2-\sqrt{50}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+7$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2}=9^{x}$.

În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu $\displaystyle 70\%$ din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă $\displaystyle 10\%$ din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de $\displaystyle 900$ de lei.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$, $\displaystyle B(5,3)$ și $\displaystyle C(8,4)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle AB$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ODC$ este isoscel.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle \sin B = \frac{1}{2}$. Arătați că $\displaystyle AC=\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x+y-\frac{xy}{6}+1$. Calculați $\displaystyle 2 \circ 3$.

Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 4$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = \frac{1}{6}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (0 \circ x) \circ (x+1) = 1$.

Determinați tripletele $\displaystyle (a,b,c)$ de numere reale, știind că numerele $\displaystyle a,b$ și $\displaystyle c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația $\displaystyle 6$ și $\displaystyle b \circ c = -5$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x+1 \\ 1-x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=2$.

Arătați că $\displaystyle B(1) \cdot B(2)-B(2)=11A$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(-1)+aA)=0$.

Arătați că $\displaystyle B(-x)+2B(x) = 3B(\frac{x}{3})$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot A + I_2 = A \cdot B(x) + I_2$.

Determinați, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N=\det(B(2m)-B(2n+1))$ este natural, multiplu impar de $\displaystyle 3$.