Determinați primul termen al unei progresii aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, dacă $\displaystyle a_3 = 9$ și $\displaystyle a_{10} = 19$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, știind că punctul $\displaystyle A(m, 3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 2x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+3} = x-3$.

Calculați probabilitatea ca alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, numărul $\displaystyle n^2$ să aparțină mulțimii $\displaystyle A$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3, 4)$ și $\displaystyle B(7, -4)$. Arătați că $\displaystyle OA = OM$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=10$, $\displaystyle AC=12$ și punctul $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Arătați că perimetrul triunghiului $\displaystyle AMC$ este egal cu $\displaystyle 30$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = x - \frac{1}{2}(x-8)(y-8)$. Arătați că $\displaystyle 2 \circ 8 = 8$.

Rezolvați ecuația $\displaystyle x \circ 9 = 15$.

Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Rezolvați ecuația $\displaystyle 2^x \circ 4^x = 8$ în $\displaystyle \mathbb{R}$.

Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle m \circ n = 7$.

Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \dots \circ \frac{2024}{2025}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = -6$.

Demonstrați că $\displaystyle A(-a) + A(a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că inversă matricei $\displaystyle A(4)$ este matricea $\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & \frac{3}{2} \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a^2) - 5A(a) + 4A(1) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + A(3)) = a^2-32$.

Calculați $\displaystyle a = \log_4 2 - \log_4 6$, este număr întreg.

Să se determine suma soluțiilor întregi ale inecuației $\displaystyle 3x^2 - 5x - 2 \le 0$.