1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{6}(\sqrt{6}-2)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=2$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=f(1)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+x}=3^{2x}$.

4. În mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,...,15\}$ Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A$, acesta să fie divizor al lui 15.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,8)$, $\displaystyle B(5,0)$ și $\displaystyle C$, mijlocul segmentului $\displaystyle OA$. Determinați distanța dintre punctele $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$.

6. Arătați că $\displaystyle 2\sin 30^\circ - (\cos 45^\circ)^2 - \cos 60^\circ = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=xy+x+y+10$. 1. Arătați că $\displaystyle 2*5=27$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (-10)*x=10*x$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(-x)=1$.

5. Determinați $\displaystyle x\in[0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle (x-9)*(\sqrt{x}-9)=9$.

6. Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, divizibil cu 3, numărul natural $\displaystyle (n+1)*(n+2)$ este divizibil cu 3.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix} a & a \\ b & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det(B(1,-1))=2$.

2. Arătați că $\displaystyle A\cdot B(1,-3)=4I_2$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A-2I_2=B(a,b)$.

4. Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X\cdot B(1,-1)=A$.

5. Știind că $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale, $\displaystyle a\ne0$, astfel încât $\displaystyle \det(A-B(a,b))=0$, arătați că $\displaystyle 3a=b$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere reale, cu $\displaystyle a<b$, pentru care $\displaystyle (a+b)B(a,b)+bB(a-b,a-b)=B(25,6)$.