Arătați că $\displaystyle 3\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=8$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x-2$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=2x+7$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(1)+g(1)=2m$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{-x}=2^{2x-6}$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A=\{0,1,2,3,\ldots,19\}$, numărul $\displaystyle 3n+2$ să aparțină mulțimii $\displaystyle A$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,0)$, $\displaystyle B(0,6)$, $\displaystyle C(5,4)$ și $\displaystyle D$, mijlocul segmentului $\displaystyle AC$. Determinați distanța dintre punctele $\displaystyle B$ și $\displaystyle D$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle AC=8$. Arătați că $\displaystyle \sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y$. Arătați că $\displaystyle 0*9=9$.

Arătați că $\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle e=10$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați simetricul numărului $\displaystyle \frac{26}{3}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Calculați $\displaystyle 3^0*3^1*3^2*3^3*3^4$.

Determinați numerele naturale de forma $\displaystyle \overline{ab}$ pentru care $\displaystyle a*b=12$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix} a & 1 \\ -3 & 2-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=4$.

Arătați că $\displaystyle 3M(4)-M(2)=2M(5)$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(M(a))=0$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(3)\cdot M(3)=xM(3)$.

Determinați matricea $\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1)\cdot X=2M(-1)$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(M(m)+mI_2)\leq\det(M(-2m))$.