Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_3 = 6$. Calculați $\displaystyle a_1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + x + 4$. Arătați că $\displaystyle f(0) = 1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{x^2 - 3x + 2} - 49 \cdot 7^{x} = 0$.

După ce parcurge $\displaystyle 75 \%$ din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs $\displaystyle 2 \text{ km}$ până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$ și $\displaystyle B(5,7)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle AC$, știind că punctul $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

Arătați că $\displaystyle 4(\sin 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) - \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} = 1$.

Arătați că $\displaystyle (-2) - 4 = 0$.

Arătați că legea de compoziție ,,$\displaystyle \circ$'' este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle 2x+1=x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2 \circ x = 2$.

Arătați că $\displaystyle x^2 \to (4x+5) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$, cu $\displaystyle m, n$ numere naturale, cu $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

Arătați că $\displaystyle A(2) + A(0) = 2 A(1)$.

Arătați că $\displaystyle A(0) = I_2$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 \\ a+1 & a \end{pmatrix}$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + aI_2) = 11$.

Se consideră matricea $\displaystyle C(a,b) = a A(b) + b A(a)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați perimetrul triunghiului cu vârfurile $\displaystyle C(a,b)$, $\displaystyle C(b,a)$ cu elementele $\displaystyle C(a,b)$ egală cu 24.