Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 3x+y-2z = 1 \\ x-3y+z = -3 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_1, y_1, z_1)$, $\displaystyle (x_2, y_2, z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle y_1=x_2$ și $\displaystyle z_1=y_2$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 4 = \frac{4}{3}$.

b) Determinați $\displaystyle a \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle [1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $\displaystyle M$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle \ast$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x-2}{x+2} + \ln \frac{x+2}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4}{x(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = n$ nu are soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{2x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (2x^2+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)}dx = \frac{1}{2}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(\sqrt{e^x})} dx$. Arătați că $\displaystyle (n+1)I_n - I_{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+2} + \frac{1}{e^n}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.