Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & x \\ 1 & 2 & 1 \\ x & 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care are loc egalitatea: $\displaystyle A(x)+y \cdot I_3 = 2 \cdot (A(1)-I_3)$.

c) Arătați că rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este egal cu $\displaystyle 3$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = xy-2x-2y+a$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că $\displaystyle 3*4=7$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle 2*1=0$, atunci $\displaystyle 1*2=1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că legea de compoziție admite element neutru.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln(x+1)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de intersecție al graficului cu axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5^{\sqrt{6}} < 6^{\sqrt{5}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1, x=e$, unde $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Arătați că $\displaystyle (3n+4) \int_0^1 x^n(1-x^3)dx = 3 \int_0^1 x^n(x^3-1)dx$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=4 \\ 2x+y-z=1 \\ ax+y-z=a-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ și $\displaystyle a$ este parametru real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât sistemul să aibă soluție unică.

b) Dacă $\displaystyle a\neq 2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Dacă $\displaystyle a=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului, având componentele întregi, pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$.

Pe $\displaystyle \mathbb{R}$ definim legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=axy-x-y+6$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle 1\circ 3=11$.

b) Să se determine numărul real $\displaystyle a$ știind că legea admite element neutru.

c) Să se arate că, dacă intervalul $\displaystyle [0,6]$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$”, atunci $\displaystyle a\in\left[\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x\ln x+\frac{1}{e}\geq 0$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

Fie funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} xe^x, & x\leq 0 \\ \frac{x^2}{x+1}, & x>0 \end{cases}$.

a) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$, știind că graficul primitivei trece prin punctul de coordonate $\displaystyle A\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.