Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x & -3 \\ -x & -2x & 1 \\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = (x+y+1)M(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot M(-1) - M(2) \cdot M\left(-\frac{1}{2}\right) = 2M(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 5(x-1)(y-1)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*3 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e = \frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle \frac{m}{25} * \frac{n}{25}$ este simetricul elementului $\displaystyle n$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, + \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 2 + \ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3 - \ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

c) Determinați cel mai mare număr întreg $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x dx = e-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2(e^x-1))dx = 5-\frac{6}{e}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(x)} dx$. Arătați că $\displaystyle I_{n+1} + 4I_n \le \frac{e}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.