Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(3)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) = A(42)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - 2x - 2y + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 2 = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{3}{2}+\ln 2$.