Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-2z=4 \\ y+z=1 \\ 2x+4y+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 3$.

b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $\displaystyle y_0 z_0 \ge 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)$.

a) Arătați că $\displaystyle 6*7=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x*x=6$.

c) Determinați tripletele $\displaystyle (m,n,p)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n<p$, pentru care $\displaystyle m*n*p=3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-8x^3}{x^2-5x} = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=8x^3+1+\ln^2 x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x(F(x)-1-\ln^2 x)dx = 31$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{F(x)-8x^3}{x}dx = \frac{1}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{F(x)-8x^3}dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+2} + I_n \le 2^{n+1}(e^4-1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.