Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=8$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (A(x)+A(3x)) \cdot A(2x)=4A(x^2)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+3X^2-aX-6$, unde $\displaystyle a$ este număr real nenul.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-3$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+3X-1$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=2x+\ln{\frac{x}{x+2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x+1)^3 dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^3+1} dx = 1-\ln 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{e^2-1}{2(e+1)^2}$.