Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - B(x) \cdot A = xI_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle C(x)$ astfel încât $\displaystyle A \cdot C(x) = B(x)$. Arătați că $\displaystyle C(x) - C(-x) = y \cdot A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2y^2 + x^2 + y^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 16$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 9x^2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m \le n$, pentru care $\displaystyle m * n = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-3\ln x}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + x^3-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3+1)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^3+1}dx = \ln(e^2-1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx \le 1 - \frac{2}{e}$.