Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(2))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+2A(1)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x^2)=I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*3=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=x+6$.

c) Arătați că $\displaystyle (x-2) * (x+2) \ge -3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2-2x-3)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{e^x}{x-2} \ge 3$ pentru orice $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-x}{x} dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^n f(x) dx = 2+3\ln n$.