Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & -4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 5I_2$.

c) Determinați valorile naturale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x)) < 10$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - x - y$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2 = -3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3-x}{x^2} - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției.

c) Demonstrați $\displaystyle f\left(\frac{1}{2024}\right) + f(2024) \ge \frac{2}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A\cdot A-2A-5I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A-xI_2)=10$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=x+y+\frac{xy}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2\circ(-3)=-3$.

b) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$” este $\displaystyle e=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ(x-3)\ge -3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-3)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\ge -1$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2e^x$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x(x+2)e^x$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.